集合覆盖问题
集合覆盖算法为许多现实世界的资源分配问题提供了解决方案。例如，假设一家航空公司为每架飞机分配机组人员，以确保有足够的人员满足旅程的需求。他们会考虑航班时间、飞行时长、中途停留次数以及机组人员的空闲时间，从而将他们分配到各个航班。这时，集合覆盖算法就派上用场了。
给定一个通用集合 U，其中包含少量元素，这些元素都被划分为子集。假设这些子集的集合为 S = {S1, S2, S3, S4... Sn}，集合覆盖算法会找到最小数量的子集，使得它们覆盖全集中存在的所有元素。
如上图所示，点表示全集 U 中存在的元素，这些元素被划分到不同的集合中，S = {S1, S2, S3, S4, S5, S6}。需要选择的最小集合数来覆盖所有元素，即最优输出 = {S1, S2, S3}。
集合覆盖算法
集合覆盖算法以集合集合作为输入，返回包含所有通用元素所需的最小集合数。
集合覆盖算法是一个 NP-Hard 问题，也是一个 2 近似贪婪算法。
算法
步骤 1 − 初始化 Output = {}，其中 Output 表示元素的输出集合。
步骤 2 −如果输出集未包含全集的所有元素，请执行以下操作 −
使用公式 $\frac{Cost\left ( S_{i} ight )}{S_{i}-Output}$ 计算全集中每个子集的成本效益
在每次迭代中，找到成本效益最低的子集。将该子集添加到输出集。
步骤 3 − 重复步骤 2，直到全集中没有剩余元素。获得的输出即为最终的输出集。
伪代码
APPROX-GREEDY-SET_COVER(X, S)
U = X
OUTPUT = ф
while U ≠ ф
select Si Є S which has maximum |Si∩U|
U = U – S
OUTPUT = OUTPUT∪ {Si}
return OUTPUT
分析
假设元素总数等于集合总数 (|X| = |S|)，则代码运行时间为 O(|X|3)
示例
让我们看一个示例，更详细地描述集合覆盖问题的近似算法
S1 = {1, 2, 3, 4} cost(S1) = 5
S2 = {2, 4, 5, 8, 10} cost(S2) = 10
S3 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} cost(S3) = 20
S4 = {4, 8, 12, 16, 20} cost(S4) = 12
S5 = {5, 6, 7, 8, 9} cost(S5) = 15
步骤 1
输出集，Output = ф
当输出集中没有元素时，计算每个集合的成本效益
S1 = cost(S1) / (S1 – Output) = 5 / (4 – 0) S2 = cost(S2) / (S2 – Output) = 10 / (5 – 0) S3 = cost(S3) / (S3 – Output) = 20 / (7 – 0) S4 = cost(S4) / (S4 – Output) = 12 / (5 – 0) S5 = cost(S5) / (S5 – Output) = 15 / (5 – 0)
本次迭代的最小成本效益在 S1 处实现，因此，添加到输出集的子集 Output = {S1}，其元素为 {1, 2, 3, 4}。
步骤 2
计算输出集中新元素对每个集合的成本效益。
S2 = cost(S2) / (S2 – Output) = 10 / (5 – 4) S3 = cost(S3) / (S3 – Output) = 20 / (7 – 4) S4 = cost(S4) / (S4 – Output) = 12 / (5 – 4) S5 = cost(S5) / (S5 – Output) = 15 / (5 – 4)
本次迭代的最小成本效益在 S3 处实现，因此，将子集添加到输出集，输出 = {S1, S3}，其元素为 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13}。
步骤 3
计算输出集中新元素对每个集合的成本效益，
S2 = cost(S2) / (S2 – 输出) = 10 / |(5 – 9)| S4 = cost(S4) / (S4 – 输出) = 12 / |(5 – 9)| S5 = cost(S5) / (S5 – Output) = 15 / |(5 – 9)|
本次迭代的最小成本效益在 S2 处实现，因此，添加到输出集的子集 Output = {S1, S3, S2}，其元素为 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13}。
步骤 4
计算输出集中新元素对每个集合的成本效益。
S4 = cost(S4) / (S4 – Output) = 12 / |(5 – 11)| S5 = cost(S5) / (S5 – Output) = 15 / |(5 – 11)|
本次迭代的最小成本效益在 S4 处实现，因此，添加到输出集的子集输出 = {S1, S3, S2, S4}，其元素为 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 20
步骤 5
计算输出集中新元素对每个集合的成本效益
S5 = cost(S5) / (S5 – Output) = 15 / |(5 – 14)|
本次迭代的最小成本效益在 S5 处实现，因此，添加到输出集的子集 Output = {S1, S3, S2, S4, S5}，其元素为 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 20
覆盖通用有限集中所有元素的最终输出为 Output = {S1, S3, S2, S4, S5}。
实现
以下是实现上述方法在各种编程语言中的应用 −
#include <stdio.h>
#define MAX_SETS 100
#define MAX_ELEMENTS 1000
int setCover(int X[], int S[][MAX_ELEMENTS], int numSets, int numElements, int output[]) {
int U[MAX_ELEMENTS];
for (int i = 0; i < numElements; i++) {
U[i] = X[i];
}
int selectedSets[MAX_SETS];
for (int i = 0; i < MAX_SETS; i++) {
selectedSets[i] = 0; // 全部初始化为0（未选择）
}
int outputIdx = 0;
while (outputIdx < numSets) { // 确保不超过最大组数
int maxIntersectionSize = 0;
int selectedSetIdx = -1;
// 找到与 U 有最大交集的集合 Si
for (int i = 0; i < numSets; i++) {
if (selectedSets[i] == 0) { // 检查集合是否尚未被选择
int intersectionSize = 0;
for (int j = 0; j < numElements; j++) {
if (U[j] && S[i][j]) {
intersectionSize++;
}
}
if (intersectionSize > maxIntersectionSize) {
maxIntersectionSize = intersectionSize;
selectedSetIdx = i;
}
}
}
// 如果没有找到集合，则中断循环
if (selectedSetIdx == -1) {
break;
}
// 在数组中将选定的集合标记为“选定”
selectedSets[selectedSetIdx] = 1;
// 从 U 中删除选定集合所覆盖的元素
for (int j = 0; j < numElements; j++) {
U[j] = U[j] - S[selectedSetIdx][j];
}
// 将选定的集合添加到输出
output[outputIdx++] = selectedSetIdx;
}
return outputIdx;
}
int main() {
int X[MAX_ELEMENTS] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
int S[MAX_SETS][MAX_ELEMENTS] = {
{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1}
};
int numSets = 5;
int numElements = 10;
int output[MAX_SETS];
int numSelectedSets = setCover(X, S, numSets, numElements, output);
printf("Selected Sets: ");
for (int i = 0; i < numSelectedSets; i++) {
printf("%d ", output[i]);
}
printf("
");
return 0;
}
输出
Selected Sets: 1 2 3 4 0
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAX_SETS 100
#define MAX_ELEMENTS 1000
// 使用近似贪婪集合覆盖算法查找集合覆盖的函数
int setCover(int X[], int S[][MAX_ELEMENTS], int numSets, int numElements, int output[])
{
int U[MAX_ELEMENTS];
for (int i = 0; i < numElements; i++) {
U[i] = X[i];
}
int selectedSets[MAX_SETS];
for (int i = 0; i < MAX_SETS; i++) {
selectedSets[i] = 0; // 全部初始化为0（未选择）
}
int outputIdx = 0;
while (outputIdx < numSets) { // 确保不超过最大组数
int maxIntersectionSize = 0;
int selectedSetIdx = -1;
// 找到与 U 有最大交集的集合 Si
for (int i = 0; i < numSets; i++) {
if (selectedSets[i] == 0) { // 检查集合是否尚未被选择
int intersectionSize = 0;
for (int j = 0; j < numElements; j++) {
if (U[j] && S[i][j]) {
intersectionSize++;
}
}
if (intersectionSize > maxIntersectionSize) {
maxIntersectionSize = intersectionSize;
selectedSetIdx = i;
}
}
}
// 如果没有找到集合，则中断循环
if (selectedSetIdx == -1) {
break;
}
// 在数组中将选定的集合标记为“选定”
selectedSets[selectedSetIdx] = 1;
// 从 U 中删除选定集合所覆盖的元素
for (int j = 0; j < numElements; j++) {
U[j] = U[j] - S[selectedSetIdx][j];
}
// 将选定的集合添加到输出
output[outputIdx++] = selectedSetIdx;
}
return outputIdx;
}
int main()
{
int X[MAX_ELEMENTS] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
int S[MAX_SETS][MAX_ELEMENTS] = {
{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1}
};
int numSets = 5;
int numElements = 10;
int output[MAX_SETS];
int numSelectedSets = setCover(X, S, numSets, numElements, output);
cout << "Selected Sets: ";
for (int i = 0; i < numSelectedSets; i++) {
cout << output[i] << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
输出
Selected Sets: 1 2 3 4 0
import java.util.*;
public class SetCover {
public static List<Integer> setCover(int[] X, int[][] S) {
Set<Integer> U = new HashSet<>();
for (int x : X) {
U.add(x);
}
List<Integer> output = new ArrayList<>();
while (!U.isEmpty()) {
int maxIntersectionSize = 0;
int selectedSetIdx = -1;
for (int i = 0; i < S.length; i++) {
int intersectionSize = 0;
for (int j = 0; j < S[i].length; j++) {
if (U.contains(S[i][j])) {
intersectionSize++;
}
}
if (intersectionSize > maxIntersectionSize) {
maxIntersectionSize = intersectionSize;
selectedSetIdx = i;
}
}
if (selectedSetIdx == -1) {
break;
}
for (int j = 0; j < S[selectedSetIdx].length; j++) {
U.remove(S[selectedSetIdx][j]);
}
output.add(selectedSetIdx);
}
return output;
}
public static void main(String[] args) {
int[] X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
int[][] S = {
{1, 2},
{2, 3, 4},
{4, 5, 6},
{6, 7, 8},
{8, 9, 10}
};
List<Integer> selectedSets = setCover(X, S);
System.out.print("Selected Sets: ");
for (int idx : selectedSets) {
System.out.print(idx + " ");
}
System.out.println();
}
}
输出
Selected Sets: 1 3 4 0 2
def set_cover(X, S):
U = set(X)
output = []
while U:
max_intersection_size = 0
selected_set_idx = -1
for i, s in enumerate(S):
intersection_size = len(U.intersection(s))
if intersection_size > max_intersection_size:
max_intersection_size = intersection_size
selected_set_idx = i
if selected_set_idx == -1:
break
U = U - set(S[selected_set_idx])
output.append(selected_set_idx)
return output
if __name__ == "__main__":
X = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
S = [
{1, 2},
{2, 3, 4},
{4, 5, 6},
{6, 7, 8},
{8, 9, 10}
]
selected_sets = set_cover(X, S)
print("Selected Sets:", selected_sets)
输出
Selected Sets: 1 3 4 0 2
