地图着色算法
地图着色问题是指给定一个图 G {V, E}，其中 V 和 E 是图的顶点和边的集合，V 中的所有顶点都需要着色，使得任何两个相邻顶点的颜色都不相同。
该算法的实际应用包括：分配移动无线电频率、制定时间表、设计数独、分配寄存器等。
地图着色算法
使用地图着色算法，将图 G 和要添加到图中的颜色作为输入，实现一个着色图，其中没有两个相邻顶点具有相同的颜色。
算法
初始化图中的所有顶点。
选择度最高的节点，用任意颜色为其着色。
借助选择颜色函数选择要在图上使用的颜色，使得没有相邻顶点具有相同的颜色。
检查是否可以添加颜色，如果可以，则将其添加到解集中。
重复步骤 2 中的过程，直到输出集准备就绪。
示例
步骤 1
计算所有顶点的度数 −
A – 4 B – 2 C – 2 D – 3 E – 3
步骤 2
首先选择度数最高的顶点进行着色，即 A，然后使用选择颜色函数选择颜色。检查是否可以将颜色添加到顶点，如果可以，则将其添加到解集。
步骤 3
从剩余顶点中选择任意一个度数下一个最高的顶点，并使用选择颜色函数为其着色。
D 和 E 的度数下一个最高，均为 3，因此请在它们之间选择一个，例如 D。
D 与 A 相邻，因此不能使用与 A 相同的颜色。因此，使用选择颜色函数选择不同的颜色。
步骤 4
度数下一个最高的顶点是 E，因此选择 E。
E 与 A 和 D 相邻，因此不能使用与 A 和 D 相同的颜色。使用选择颜色函数选择不同的颜色。
步骤 5
下一个最高度顶点是 B 和 C。因此，随机选择其中一个。
B 与 A 和 E 相邻，因此不能使用 A 和 E 的颜色，但它不与 D 相邻，因此可以使用 D 的颜色。
步骤6
下一个也是最后一个剩余的顶点是 C，它与 A 和 D 相邻，因此不能使用 A 和 D 的颜色进行着色。但它不与 E 相邻，因此可以用 E 的颜色进行着色。
示例
以下是地图着色算法在各种编程语言中的完整实现，其中图的着色方式使得任何两个相邻顶点的颜色都不相同。
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#define V 4
bool graph[V][V] = {
{0, 1, 1, 0},
{1, 0, 1, 1},
{1, 1, 0, 1},
{0, 1, 1, 0},
};
bool isValid(int v,int color[], int c){ //检查放置的颜色是否对 v 有效
for (int i = 0; i < V; i++)
if (graph[v][i] && c == color[i])
return false;
return true;
}
bool mColoring(int colors, int color[], int vertex){
if (vertex == V) //当考虑所有顶点时
return true;
for (int col = 1; col <= colors; col++) {
if (isValid(vertex,color, col)) { //检查颜色col是否有效
color[vertex] = col;
if (mColoring (colors, color, vertex+1) == true) //寻找额外的顶点
return true;
color[vertex] = 0;
}
}
return false; //当无法分配颜色时
}
int main(){
int colors = 3; // 颜色数量
int color[V]; //为每个顶点制作颜色矩阵
for (int i = 0; i < V; i++)
color[i] = 0; //初始设置为 0
if (mColoring(colors, color, 0) == false) { //对于顶点 0 检查图形着色
printf("Solution does not exist.");
}
printf("Assigned Colors are:
");
for (int i = 0; i < V; i++)
printf("%d ", color[i]);
return 0;
}
输出
Assigned Colors are: 1 2 3 1
#include<iostream>
using namespace std;
#define V 4
bool graph[V][V] = {
{0, 1, 1, 0},
{1, 0, 1, 1},
{1, 1, 0, 1},
{0, 1, 1, 0},
};
bool isValid(int v,int color[], int c){ //检查放置的颜色是否对 v 有效
for (int i = 0; i < V; i++)
if (graph[v][i] && c == color[i])
return false;
return true;
}
bool mColoring(int colors, int color[], int vertex){
if (vertex == V) //当考虑所有顶点时
return true;
for (int col = 1; col <= colors; col++) {
if (isValid(vertex,color, col)) { //检查颜色col是否有效
color[vertex] = col;
if (mColoring (colors, color, vertex+1) == true) //寻找额外的顶点
return true;
color[vertex] = 0;
}
}
return false; //当无法分配颜色时
}
int main(){
int colors = 3; // 颜色数量
int color[V]; //为每个顶点制作颜色矩阵
for (int i = 0; i < V; i++)
color[i] = 0; //初始设置为 0
if (mColoring(colors, color, 0) == false) { //对于顶点 0 检查图形着色
cout << "Solution does not exist.";
}
cout << "Assigned Colors are:
";
for (int i = 0; i < V; i++)
cout << color[i] << " ";
return 0;
}
输出
Assigned Colors are: 1 2 3 1
public class mcolouring {
static int V = 4;
static int graph[][] = {
{0, 1, 1, 0},
{1, 0, 1, 1},
{1, 1, 0, 1},
{0, 1, 1, 0},
};
static boolean isValid(int v,int color[], int c) { //检查放置的颜色是否对 v 有效
for (int i = 0; i < V; i++)
if (graph[v][i] != 0 && c == color[i])
return false;
return true;
}
static boolean mColoring(int colors, int color[], int vertex) {
if (vertex == V) //当考虑所有顶点时
return true;
for (int col = 1; col <= colors; col++) {
if (isValid(vertex,color, col)) { //检查颜色col是否有效
color[vertex] = col;
if (mColoring (colors, color, vertex+1) == true) //寻找额外的顶点
return true;
color[vertex] = 0;
}
}
return false; //当无法分配颜色时
}
public static void main(String args[]) {
int colors = 3; // 颜色数量
int color[] = new int[V]; //为每个顶点制作颜色矩阵
for (int i = 0; i < V; i++)
color[i] = 0; //初始设置为 0
if (mColoring(colors, color, 0) == false) { //对于顶点 0 检查图形着色
System.out.println("Solution does not exist.");
}
System.out.println("Assigned Colors are: ");
for (int i = 0; i < V; i++)
System.out.print(color[i] + " ");
}
}
输出
Assigned Colors are: 1 2 3 1
V = 4
graph = [[0, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0]]
def isValid(v, color, c): # 检查颜色是否对 v 有效
for i in range(V):
if graph[v][i] and c == color[i]:
return False
return True
def mColoring(colors, color, vertex):
if vertex == V: # 当考虑所有顶点时
return True
for col in range(1, colors + 1):
if isValid(vertex, color,
col): # 检查颜色col是否有效
color[vertex] = col
if mColoring(colors, color, vertex + 1):
return True # 寻找额外的顶点
color[vertex] = 0
return False # 当无法指定颜色时
colors = 3 # 颜色数量
color = [0] * V # 为每个顶点创建颜色矩阵
if not mColoring(
colors, color,
0): # 初始设置为 0，对于顶点 0 检查图着色
print("Solution does not exist.")
else:
print("Assigned Colors are:")
for i in range(V):
print(color[i], end=" ")
输出
Assigned Colors are: 1 2 3 1
